Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die Folge (z_n) rekursiv definiert durch

betragsmäßg beschränkt ist. Ihren Namen hat sie vom französischen Mathematiker Benoit Mandelbrot.
Man kann zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist, wenn ein Folgenglied betragsmäßig größer als 2 wird. Um die komplexen Zahlen herauszubekommen, die zur Mandelbrotmenge gehören, iteriert man nach obiger Vorschrift, bis man eine Zahl erhält, deren Betrag größer 2 ist, oder bis eine vorgegebene maximale Iterationstiefe erreicht ist. (Je größer die Iterationstiefe, desto genauer kann die Mandelbrotmenge bestimmt werden.)
Um ein Bild zu erhalten, wie es hier zu sehen ist, färbt man die Punkte in der komplexen Zahlenebene schwarz, die zur Mandelbrotmenge gehören und lässt die anderen weiß. Um ein schöneres Bild zu erhalten, kann man noch farbliche Abstufungen einführen, die verdeutlichen wie schnell die Folge für eine bestimmte komplexe Zahl betragsmäßig wächst.
Wenn man in das Mandelbrot-Fraktal hinein zoomt, kann man an seinem Rand eine Vielzahl von unendlich komplexen Strukturen entdecken, von denen einige der Grundform immer mehr oder weniger ähnlich sehen. Diese Grundform ist es, die dem Madelbrot-Fraktal auch den Namen "Apfelmännchen" gegeben hat. Trotzdem ist das Mandelbrot-Fraktal nicht selbstähnlich! Es gibt immer kleine Unterschiede, die gerade den Reiz des Apfelmännchens ausmachen.
Damit wären wir bei einem mit diesem eng verwandten Fraktal, denn zu jeder komplexen Zahl lässt sich ein Julia-Fraktal zeichnen, dessen Iterationsvorschrift der des Mandelbrot-Fraktals sehr ähnelt. Julia-Fraktale sind selbstähnlich.